◎历四
○授时历经下△步中星第五大都北极，出地四十度太强。冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。
夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。冬至昼，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。夏至昼，冬至夜，六千一百八十四分八秒。昏明，二百五十分。
黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分〔表略〕求每日黄道出入赤道内外去极度
置所求日晨前夜半黄道积度，满半岁周，去之，在象限已下，为初限。已上，复减半岁周，余为入末限。满积度，去之，余以其段内外差乘之，百约之，所得，用减内外度，为出入赤道内外度。内减外加象限，即所求去极度及分秒。
求每日半昼夜及日出入晨昏分
置所求入初末限，满积度，去之，余以昼夜差乘之，百约之，所得，加减其段半昼夜分，为所求日半昼夜分。〕前多后少为减，前少后多为加。以半夜分便为日出分，用减日周，余为日入分。以昏明分减日出分，余为晨分。加日入分，为昏分。
求昼夜刻及日出入辰刻
置半夜分，倍之，百约，为夜刻。以减百刻，余为昼刻。以日出入分依发敛求之，即得所求辰刻。求更点率置晨分，倍之，五约，为更率。又五约更率，为点率。
求更点所在辰刻
置所求更点数，以更点率乘之，加其日昏分，依发敛求之，即得所求辰刻。求距中度及更差度
置半日周，以其日晨分减之，余为距中分。以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如日周而一，所得，为距中度。用减一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，为更差度及分。
求昏明五更中星
置距中度，以其日午中赤道日度加而命之，即昏中星所临宿次，命为初更中星。以更差度累加之，满赤道宿次去之，为逐更及晓中星宿度及分秒。其九服所在昼夜刻分及中星诸率，并准随处北极出地度数推之。〔已上诸率，与晷漏所推自相符契。〕
求九服所在漏刻
各於所在以仪测验，或下水漏，以定其处冬至或夏至夜刻，与五十刻相减，余为至差刻。置所求日黄道，去赤道内外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，所得内减外加五十刻，即所求夜刻。以减百刻，余为昼刻。〔其日出入辰刻及更点等率，依术求之。〕
△步交会第六交终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。交终，二十七日二千一百二十二分二十四秒。交中，十三日六千六十一分一十二秒。
交差，二日三千一百八十三分六十九秒。交望，十四日七千六百五十二分九十六秒半。交应，二十六万一百八十七分八十六秒。交终，三百六十三度七十九分三十四秒。
交中，一百八十一度八十九分六十七秒。正交，三百五十七度六十四分。中交，一百八十八度五分。日食阳历限，六度。 定法，六十。
阴历限，八度。 定法，八十。月食限，十三度五分。 定法，八十七。推天正经朔入交
置中积，加交应，减闰余，满交终分，去之。不尽，以日周约之为日，不满为分秒，即天正经朔入交泛日及分秒。〕上考者，中积内加所求闰余，减交应，满交终去之，不尽，以减交终，余如上。
求次朔望入交
置天正经朔入交泛日及分秒，以交望累加之，满交终日，去之，即为次朔望入交泛日及分秒。求定朔望及每日夜半入交
各置入交泛日及分秒，减去经朔望小余，即为定朔望夜半入交。若定日有增损者，亦如之。否则因经为定，大月加二日，小月加一日，余皆加七千八百七十七分七十六秒，即次朔夜半入交。累加一日，满交终日，去之，即每日夜半入交泛日及分秒。
求定朔望加时入交
置经朔望入交泛日及分秒，以定朔望加减差加减之，即定朔望加时入交日及分秒。求交常交定度
置经朔望入交泛日及分秒，以月平行度乘之，为交常度。以盈缩差盈加缩减之，为交定度。求日月食甚定分
日食：视定朔分在半日周已下，去减半周，为中前。已上，减去半周，为中后。与半周相减、相乘，退二位，如九十六而一，为时差。中前以减，中后以加，皆加减定朔分，为食甚定分。以中前后分各加时差，为距午定分。
月食：视定望分在日周四分之一已下，为卯前。已上，覆减半周，为卯后。在四分之三已下，减去半周，为酉前。已上，覆减日周，为酉后。以卯酉前后分自乘，退二位，如四百七十八而一，为时差。子前以减，子后以加，皆加减定望分，为食甚定分。各依发敛求之，即食甚辰刻。
求日月食甚入盈缩历及日行定度
置经朔望入盈缩历日及分，以食甚日及定分加之，以经朔望日及分减之，即为食甚入盈缩历。依日躔术求盈缩差，盈加缩减之，为食甚入盈缩历定度。
求南北差
视日食甚入盈缩历定度，在象限已下，为初限。已上，用减半岁周，为末限。以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒。用减四度四十六分，余为南北泛差。以距午定分乘之，以半昼分除之，所得，以减泛差，为定差。泛差不及减者，反减之为定差，应加者减之，应减者加之。在盈初缩末者，交前阴历减，阳历加，交后阴历加，阳历减。在缩初盈末者，交前阴历加，阳历减，交后阴历减，阳历加。
求东西差
视日食甚入盈缩历定度，与半岁周相减相乘，如一千八百七十而一，为度，不满，退除为分秒，为东西泛差。以距午定分乘之，以日周四分之一除之，为定差。若在泛差已上者，倍泛差减之，余为定差，依其加减。在盈中前者，交前阴历减，阳历加。交后阴历加，阳历减。中后者，交前阴历加，阳历减。交后阴历减，阳历加。在缩中前者，交前阴历加，阳历减。交后阴历减，阳历加。中后者，交前阴历减，阳历加。交后阴历加，阳历减。
求日食正交中交限度
置正交、中交度，以南北东西差加减之，为正交、中交限度及分秒。求日食入阴阳历去交前后度
视交定度，在中交限已下，以减中交限，为阳历交前度。已上，减去中交限，为阴历交后度。在正交限已下，以减正交限，为阴历交前度。已上，减去正交限，为阳历交后度。
求月食入阴阳历去交前后度
视交定度，在交中度已下，为阳历。已上，减去交中，为阴历。视入阴阳历，在后准十五度半已下，为交后度。前准一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆减交中，余为交前度及分。
求日食分秒
视去交前后度，各减阴阳历食限，〔不及减者不食。〕余如定法而一，各为日食之分秒。求月食分秒
视去交前后度，〕不用南北东西差者。用减食限，〔不及减者不食。〕余如定法而一，为月食之分秒。求日食定用及三限辰刻
置日食分秒，与二十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分。以减食甚定分，为初亏。加食甚定分，为复圆。依发敛求之，为日食三限辰刻。
求月食定用及三限五限辰刻
置月食分秒，与三十分相减、相乘，平方开之。所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为定用分。以减食甚定分，为初亏。加食甚定分，为复圆。依发敛求之，即月食三限辰刻。
月食既者，以既内分与一十分相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如入定限行度而一，为既内分。用减定用分，为既外分。以定用分减食甚定分，为初亏。加既外，为食既。又加既内，为食甚。再加既内，为生光。复加既外，为复圆。依发敛求之，即月食五限辰刻。
求月食入更点
置食甚所入日晨分，倍之，五约，为更法。又五约更法，为点法。乃置初末诸分，昏分已上，减去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，为更数。不满，以点法收之，为点数。其更点数，命初更初点算外，各得所入更点。
求日食所起
食在阳历，初起西南，甚於正南，复於东南。食在阴历，初起西北，甚於正北，复於东北。食八分已上，初起正西，复於正东。〔此据午地而论之。〕
求月食所起
食在阳历，初起东北，甚於正北，复於西北。食在阴历，初起东南，甚於正南，复於西南。食八分已上，初起正东，复於正西。〔此亦据午地而论之。〕
求日月出入带食所见分数
视其日日出入分，在初亏已上、食甚已下者，为带食。各以食甚分与日出入分相减，余为带食差。以乘所食之分，满定用分而一，〔如月食既者，以既内分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出入所见之分。不及减者，为带食既出入。〕以减所食分，即日月出入带食所见之分。〔其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退。其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。〕
求日月食甚宿次
置日月食甚入盈缩历定度，在盈，便为定积。在缩，加半岁周，为定积。望即更加半周天度。以天正冬至加时黄道日度，加而命之，各得日月食甚宿次及分秒。
△步五星第七历度三百六十五度二十五分七十五秒。历中
一百八十二度六十二分八十七秒半。历策一十五度二十一分九十秒六十二微半。木星
周率，三百九十八万八千八百分。周日，三百九十八日八十八分。历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。度率，一十一万八千五百八十二分。
合应，一百一十七万九千七百二十六分。历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。盈缩立差，二百三十六加。平差，二万五千九百一十二减。
定差，一千八十九万七千。伏见，一十三度。〔表略〕火星
周率，七百七十九万九千二百九十分。周日，七百七十九日九十二分九十秒。历率，六百八十六万九千五百八十分四十三秒。度率，一万八千八百七分半。
合应，五十六万七千五百四十五分。历应，五百四十七万二千九百三十八分。盈初缩末立差，一千一百三十五减。平差，八十三万一千一百八十九减。
定差，八千八百四十七万八千四百。缩初盈末立差，八百五十一加。平差，三万二百三十五负减。定差，二千九百九十七万六千三百。
伏见，一十九度。〔表略〕土星周率，三百七十八万九百一十六分。
周日，三百七十八日九分一十六秒。历率，一亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。度率，二十九万四千二百五十五分。合应，一十七万五千六百四十三分。
历应，五千二百二十四万五百六十一分。盈立差，二百八十三加。平差，四万一千二十二减。定差，一千五百一十四万六千一百。
缩立差，三百三十一加。平差，一万五千一百二十六减。定差，一千一百一万七千五百。伏见，一十八度。
〔表略〕金星周率，五百八十三万九千二十六分。周日，五百八十三日九十分二十六秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。度率，一万。合应，五百七十一万六千三百三十分。历应，一十一万九千六百三十九分。
盈缩立差，一百四十一加。平差，三减。定差，三百五十一万五千五百。伏见，一十度半。
〔表略〕水星周率，一百一十五万八千七百六十分。周日，一百一十五日八十七分六十秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。度率，一万。合应，七十万四百三十七分。历应，二百五万五千一百六十一分。
盈缩立差，一百四十一加。平差，二千一百六十五减。定差，三百八十七万七千。晨伏夕见，一十六度半。
夕伏晨见，一十九度。〔表略〕推天正冬至后五星平合及诸段中积中星
置中积，加合应，以其星周率去之，不尽，为前合。复减周率，余为后合。以日周约之，得其星天正冬至后平合中积中星。〔命为日，日中积。命为度，日中星。〕以段日累加中积，即诸段中积。以平度累加中星，经退则减之，即为诸段中星。〔上考者，中积内减合应，满周率去之，不尽，便为所求后合分。〕
推五星平合及诸段入历
各置中积，加历应及所求后合分，满历率，去之。不尽，如度率而一为度，不满，退除为分秒，即其星平合入历度及分秒。以诸段限度累加之，即诸段入历。〔上考者，中积内减历应，满历率去之，不尽，反减历率，余加其年后合，余同上。〕
求盈缩差
置入历度及分秒，在历中已下，为盈。已上，减去历中，余为缩。视盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太已下，为初限。已上，用减历中，余为末限。
其火星，盈历在六十度八十七分六十二秒半已下，为初限。已上，用减历中，余为末限。缩历在一百二十一度七十五分二十五秒已下，为初限。已上，用减历中，馀为末限。
置各星立差，以初末限乘之，去加减平差，得，又以初末限乘之，去加减定差，再以初末限乘之，满亿为度，不满退除为分秒，即所求盈缩差。
又术：置盈缩历，以历策除之，为策数，不尽为策余。以其下损益率乘之，历策除之，所得，益加损减其下盈缩积，亦为所求盈缩差。求平合诸段定积
各置其星其段中积，以其盈缩差盈加缩减之，即其段定积日及分秒。以天正冬至日分加之，满纪法去之，不满，命甲子算外，即得日辰。求平合及诸段所在月日
各置其段定积，以天正闰日及分加之，满朔策，除之为月数，不尽，为入月已来日数及分秒。其月数，命天正十一月算外，即其段入月经朔日数及分秒。以日辰相距，为所在定朔月日。
求平合及诸段加时定星
各置其段中星，以盈缩差盈加缩减之，〔金星倍之，水星三之。〕即诸段定星。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。
求诸段初日晨前夜半定星
各以其段初行率，乘其段加时分，百约之，乃顺减退加其日加时定星，即其段初日晨前夜半定星。加命如前，即得所求。求诸段日率度率
各以其段日辰距后段日辰为日率，以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余为度率。求诸段平行分各置其段度率，以其段日率除之，即其段平行度及分秒。
求诸段增减差及日差
以本段前后平行分相减，为其段泛差。倍而退位，为增减差。以加减其段平行分，为初末日行分。〕前多后少者，加为初，减为末。前少后多者，减为初，加为末。倍增减差，为总差。以日率减一，除之，为日差。
求前后伏迟退段增减差前伏者，置后段初日行分，加其日差之半，为末日行分。
后伏者，置前段末日行分，加其日差之半，为初日行分。以减伏段平行分，余为增减差。前迟者，置前段末日行分，倍其日差，减之，为初日行分。
后迟者，置后段初日行分，倍其日差，减之，为末日行分。以迟段平行分减之，余为增减差。〕前后近留之迟段。木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，为增减差。
金星，前后退伏者，三因平行分，半而退位，为增减差。前退者，置后段初日行分，以其日差减之，为末日行分。
后退者，置前段末日行分，以其日差减之，为初日行分。乃以本段平行分减之，余为增减差。
水星，退行者，半平行分，为增减差。皆以增减差加减平行分，为初末日行分。前多后少者，加为初，减为末。前少后多者，减为初，加为末。又倍增减差，为总差。以日率减一，除之，为日差。
求每日晨前夜半星行宿次
各置其段初日行分，以日差累损益之，后少则损之，后多则益之，为每日行度及分秒。乃顺加退减，满宿次去之，即每日晨前夜半星行宿次。求五星平合见伏入盈缩历
置其星其段定积日及分秒，〔若满岁周日及分秒，去之，余在次年天正冬至后。〕如在半岁周已下，为入盈历。满半岁周，去之，为入缩历。各在初限已下，为初限。已上，反减半岁周，余为末限。即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。
求五星平合见伏行差
各以其星其段初日星行分，与其段初日太阳行分相减，余为行差。若金、水二星退行在退合者，以其段初日星行分，并其段初日太阳行分，为行差。内水星夕伏晨见者，直以其段初日太阳行分为行差。
求五星定合定见定伏泛积
木火土三星，以平合晨见夕伏定积日，便为定合伏见泛积日及分秒。
金水二星，置其段盈缩差度及分秒，〔水星倍之。〕各以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒。在平合夕见晨伏者，盈减缩加。在退合夕伏晨见者，盈加缩减。各以加减定积为定合伏见泛积日及分秒。
求五星定合定积定星
木火土三星，各以平合行差除其段初日太阳盈缩积，为距合差日。不满，退除为分秒，以太阳盈缩积减之，为距合差度。各置其星定合泛积，以距合差日盈减缩加之，为其星定合定积日及分秒。以距合差度盈减缩加之，为其星定合定星度及分秒。
金水二星，顺合退合者，各以平合退合行差，除其日太阳盈缩积，为距合差日。不满，退除为分秒，顺加退减太阳盈缩积，为距合差度。顺合者，盈加缩减其星定合泛积，为其星定合定积日及分秒。退合者，以距合差日盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积，为其星退定合定积日及分秒。命之，为退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒，加其星定合定积日及分秒，满旬周，去之，命甲子算外，即得定合日辰及分秒。以天正冬至加时黄道日度及分秒，加其星定合定星度及分秒，满黄道宿次，去之，即得定合所躔黄道宿度及分秒。〔径求五星合伏定日：木、火、土三星，以夜半黄道日度，减其星夜半黄道宿次，余在其日太阳行分已下，为其日伏合。金、水二星，以其星夜半黄道宿次，减夜半黄道日度，余在其日金、水二星行分已下者，为其日伏合。金、水二星伏退合者，视其日太阳夜半黄道宿次，未行到金、水二星宿次，又视次日太阳行过金、水二星宿次，金、水二星退行过太阳宿次，为其日定合伏退定日。〕
求木火土三星定见伏定积日
各置其星定见定伏泛积日及分秒，晨加夕减九十一日三十一分六秒，如在半岁周已下，自相乘，已上，反减岁周，余亦自相乘，满七十五，除之为分，满百为度，不满，退除为秒。以其星见伏度乘之，一十五除之。所得，以其段行差除之，为日，不满，退除为分秒。见加伏减泛积，为其星定见伏定积日及分秒。加命如前，即得定见定伏日辰及分秒。
求金水二星定见伏定积日
各以伏见日行差，除其段初日太阳盈缩积，为日，不满，退除为分秒。若夕见晨伏，盈加缩减。如晨见夕伏，盈减缩加。以加减其星定见定伏泛积日及分秒，为常积。如在半岁周已下，为冬至后。已上，去之，余为夏至后。各在九十一日三十一分六秒已下，自相乘，已上，反减半岁周，亦自相乘。冬至后晨，夏至后夕，一十八而一，为分。冬至后夕，夏至后晨，七十五而一，为分。又以其星见伏度乘之，一十五除之。所得，满行差，除之，为日，不满，退除为分秒，加减常积，为定积。在晨见夕伏者，冬至后加之，夏至后减之。夕见晨伏者，冬至后减之，夏至后加之。为其星定见定伏定积日及分秒。加命如前，即得定见定伏日晨及分秒。