卷五十五·志第七
无名氏

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◎历四

○授时历经下△步中星第五大都北极,出地四十度太强。冬至,去极一百一十五度二十一分七十三秒。

夏至,去极六十七度四十一分一十三秒。冬至昼,夏至夜,三千八百一十五分九十二秒。夏至昼,冬至夜,六千一百八十四分八秒。昏明,二百五十分。

黄道出入赤道内外去极度及半昼夜分〔表略〕求每日黄道出入赤道内外去极度

置所求日晨前夜半黄道积度,满半岁周,去之,在象限已下,为初限。已上,复减半岁周,余为入末限。满积度,去之,余以其段内外差乘之,百约之,所得,用减内外度,为出入赤道内外度。内减外加象限,即所求去极度及分秒。

求每日半昼夜及日出入晨昏分

置所求入初末限,满积度,去之,余以昼夜差乘之,百约之,所得,加减其段半昼夜分,为所求日半昼夜分。〕前多后少为减,前少后多为加。以半夜分便为日出分,用减日周,余为日入分。以昏明分减日出分,余为晨分。加日入分,为昏分。

求昼夜刻及日出入辰刻

置半夜分,倍之,百约,为夜刻。以减百刻,余为昼刻。以日出入分依发敛求之,即得所求辰刻。求更点率置晨分,倍之,五约,为更率。又五约更率,为点率。

求更点所在辰刻

置所求更点数,以更点率乘之,加其日昏分,依发敛求之,即得所求辰刻。求距中度及更差度

置半日周,以其日晨分减之,余为距中分。以三百六十六度二十五分七十五秒乘之,如日周而一,所得,为距中度。用减一百八十三度一十二分八十七秒半,倍之,五除,为更差度及分。

求昏明五更中星

置距中度,以其日午中赤道日度加而命之,即昏中星所临宿次,命为初更中星。以更差度累加之,满赤道宿次去之,为逐更及晓中星宿度及分秒。其九服所在昼夜刻分及中星诸率,并准随处北极出地度数推之。〔已上诸率,与晷漏所推自相符契。〕

求九服所在漏刻

各於所在以仪测验,或下水漏,以定其处冬至或夏至夜刻,与五十刻相减,余为至差刻。置所求日黄道,去赤道内外度及分,以至差刻乘之,进一位,如二百三十九而一,所得内减外加五十刻,即所求夜刻。以减百刻,余为昼刻。〔其日出入辰刻及更点等率,依术求之。〕

△步交会第六交终分,二十七万二千一百二十二分二十四秒。交终,二十七日二千一百二十二分二十四秒。交中,十三日六千六十一分一十二秒。

交差,二日三千一百八十三分六十九秒。交望,十四日七千六百五十二分九十六秒半。交应,二十六万一百八十七分八十六秒。交终,三百六十三度七十九分三十四秒。

交中,一百八十一度八十九分六十七秒。正交,三百五十七度六十四分。中交,一百八十八度五分。日食阳历限,六度。 定法,六十。

阴历限,八度。 定法,八十。月食限,十三度五分。 定法,八十七。推天正经朔入交

置中积,加交应,减闰余,满交终分,去之。不尽,以日周约之为日,不满为分秒,即天正经朔入交泛日及分秒。〕上考者,中积内加所求闰余,减交应,满交终去之,不尽,以减交终,余如上。

求次朔望入交

置天正经朔入交泛日及分秒,以交望累加之,满交终日,去之,即为次朔望入交泛日及分秒。求定朔望及每日夜半入交

各置入交泛日及分秒,减去经朔望小余,即为定朔望夜半入交。若定日有增损者,亦如之。否则因经为定,大月加二日,小月加一日,余皆加七千八百七十七分七十六秒,即次朔夜半入交。累加一日,满交终日,去之,即每日夜半入交泛日及分秒。

求定朔望加时入交

置经朔望入交泛日及分秒,以定朔望加减差加减之,即定朔望加时入交日及分秒。求交常交定度

置经朔望入交泛日及分秒,以月平行度乘之,为交常度。以盈缩差盈加缩减之,为交定度。求日月食甚定分

日食:视定朔分在半日周已下,去减半周,为中前。已上,减去半周,为中后。与半周相减、相乘,退二位,如九十六而一,为时差。中前以减,中后以加,皆加减定朔分,为食甚定分。以中前后分各加时差,为距午定分。

月食:视定望分在日周四分之一已下,为卯前。已上,覆减半周,为卯后。在四分之三已下,减去半周,为酉前。已上,覆减日周,为酉后。以卯酉前后分自乘,退二位,如四百七十八而一,为时差。子前以减,子后以加,皆加减定望分,为食甚定分。各依发敛求之,即食甚辰刻。

求日月食甚入盈缩历及日行定度

置经朔望入盈缩历日及分,以食甚日及定分加之,以经朔望日及分减之,即为食甚入盈缩历。依日躔术求盈缩差,盈加缩减之,为食甚入盈缩历定度。

求南北差

视日食甚入盈缩历定度,在象限已下,为初限。已上,用减半岁周,为末限。以初末限度自相乘,如一千八百七十而一,为度,不满,退除为分秒。用减四度四十六分,余为南北泛差。以距午定分乘之,以半昼分除之,所得,以减泛差,为定差。泛差不及减者,反减之为定差,应加者减之,应减者加之。在盈初缩末者,交前阴历减,阳历加,交后阴历加,阳历减。在缩初盈末者,交前阴历加,阳历减,交后阴历减,阳历加。

求东西差

视日食甚入盈缩历定度,与半岁周相减相乘,如一千八百七十而一,为度,不满,退除为分秒,为东西泛差。以距午定分乘之,以日周四分之一除之,为定差。若在泛差已上者,倍泛差减之,余为定差,依其加减。在盈中前者,交前阴历减,阳历加。交后阴历加,阳历减。中后者,交前阴历加,阳历减。交后阴历减,阳历加。在缩中前者,交前阴历加,阳历减。交后阴历减,阳历加。中后者,交前阴历减,阳历加。交后阴历加,阳历减。

求日食正交中交限度

置正交、中交度,以南北东西差加减之,为正交、中交限度及分秒。求日食入阴阳历去交前后度

视交定度,在中交限已下,以减中交限,为阳历交前度。已上,减去中交限,为阴历交后度。在正交限已下,以减正交限,为阴历交前度。已上,减去正交限,为阳历交后度。

求月食入阴阳历去交前后度

视交定度,在交中度已下,为阳历。已上,减去交中,为阴历。视入阴阳历,在后准十五度半已下,为交后度。前准一百六十六度三十九分六十八秒已上,覆减交中,余为交前度及分。

求日食分秒

视去交前后度,各减阴阳历食限,〔不及减者不食。〕余如定法而一,各为日食之分秒。求月食分秒

视去交前后度,〕不用南北东西差者。用减食限,〔不及减者不食。〕余如定法而一,为月食之分秒。求日食定用及三限辰刻

置日食分秒,与二十分相减、相乘,平方开之,所得,以五千七百四十乘之,如入定限行度而一,为定用分。以减食甚定分,为初亏。加食甚定分,为复圆。依发敛求之,为日食三限辰刻。

求月食定用及三限五限辰刻

置月食分秒,与三十分相减、相乘,平方开之。所得,以五千七百四十乘之,如入定限行度而一,为定用分。以减食甚定分,为初亏。加食甚定分,为复圆。依发敛求之,即月食三限辰刻。

月食既者,以既内分与一十分相减、相乘,平方开之,所得,以五千七百四十乘之,如入定限行度而一,为既内分。用减定用分,为既外分。以定用分减食甚定分,为初亏。加既外,为食既。又加既内,为食甚。再加既内,为生光。复加既外,为复圆。依发敛求之,即月食五限辰刻。

求月食入更点

置食甚所入日晨分,倍之,五约,为更法。又五约更法,为点法。乃置初末诸分,昏分已上,减去昏分,晨分已下,加晨分,以更法除之,为更数。不满,以点法收之,为点数。其更点数,命初更初点算外,各得所入更点。

求日食所起

食在阳历,初起西南,甚於正南,复於东南。食在阴历,初起西北,甚於正北,复於东北。食八分已上,初起正西,复於正东。〔此据午地而论之。〕

求月食所起

食在阳历,初起东北,甚於正北,复於西北。食在阴历,初起东南,甚於正南,复於西南。食八分已上,初起正东,复於正西。〔此亦据午地而论之。〕

求日月出入带食所见分数

视其日日出入分,在初亏已上、食甚已下者,为带食。各以食甚分与日出入分相减,余为带食差。以乘所食之分,满定用分而一,〔如月食既者,以既内分减带食差,余进一位,如既外分而一,所得,以减既分,即月带食出入所见之分。不及减者,为带食既出入。〕以减所食分,即日月出入带食所见之分。〔其食甚在昼,晨为渐进,昏为已退。其食甚在夜,晨为已退,昏为渐进。〕

求日月食甚宿次

置日月食甚入盈缩历定度,在盈,便为定积。在缩,加半岁周,为定积。望即更加半周天度。以天正冬至加时黄道日度,加而命之,各得日月食甚宿次及分秒。

△步五星第七历度三百六十五度二十五分七十五秒。历中

一百八十二度六十二分八十七秒半。历策一十五度二十一分九十秒六十二微半。木星

周率,三百九十八万八千八百分。周日,三百九十八日八十八分。历率,四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。度率,一十一万八千五百八十二分。

合应,一百一十七万九千七百二十六分。历应,一千八百九十九万九千四百八十一分。盈缩立差,二百三十六加。平差,二万五千九百一十二减。

定差,一千八十九万七千。伏见,一十三度。〔表略〕火星

周率,七百七十九万九千二百九十分。周日,七百七十九日九十二分九十秒。历率,六百八十六万九千五百八十分四十三秒。度率,一万八千八百七分半。

合应,五十六万七千五百四十五分。历应,五百四十七万二千九百三十八分。盈初缩末立差,一千一百三十五减。平差,八十三万一千一百八十九减。

定差,八千八百四十七万八千四百。缩初盈末立差,八百五十一加。平差,三万二百三十五负减。定差,二千九百九十七万六千三百。

伏见,一十九度。〔表略〕土星周率,三百七十八万九百一十六分。

周日,三百七十八日九分一十六秒。历率,一亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。度率,二十九万四千二百五十五分。合应,一十七万五千六百四十三分。

历应,五千二百二十四万五百六十一分。盈立差,二百八十三加。平差,四万一千二十二减。定差,一千五百一十四万六千一百。

缩立差,三百三十一加。平差,一万五千一百二十六减。定差,一千一百一万七千五百。伏见,一十八度。

〔表略〕金星周率,五百八十三万九千二十六分。周日,五百八十三日九十分二十六秒。

历率,三百六十五万二千五百七十五分。度率,一万。合应,五百七十一万六千三百三十分。历应,一十一万九千六百三十九分。

盈缩立差,一百四十一加。平差,三减。定差,三百五十一万五千五百。伏见,一十度半。

〔表略〕水星周率,一百一十五万八千七百六十分。周日,一百一十五日八十七分六十秒。

历率,三百六十五万二千五百七十五分。度率,一万。合应,七十万四百三十七分。历应,二百五万五千一百六十一分。

盈缩立差,一百四十一加。平差,二千一百六十五减。定差,三百八十七万七千。晨伏夕见,一十六度半。

夕伏晨见,一十九度。〔表略〕推天正冬至后五星平合及诸段中积中星

置中积,加合应,以其星周率去之,不尽,为前合。复减周率,余为后合。以日周约之,得其星天正冬至后平合中积中星。〔命为日,日中积。命为度,日中星。〕以段日累加中积,即诸段中积。以平度累加中星,经退则减之,即为诸段中星。〔上考者,中积内减合应,满周率去之,不尽,便为所求后合分。〕

推五星平合及诸段入历

各置中积,加历应及所求后合分,满历率,去之。不尽,如度率而一为度,不满,退除为分秒,即其星平合入历度及分秒。以诸段限度累加之,即诸段入历。〔上考者,中积内减历应,满历率去之,不尽,反减历率,余加其年后合,余同上。〕

求盈缩差

置入历度及分秒,在历中已下,为盈。已上,减去历中,余为缩。视盈缩历,在九十一度三十一分四十三秒太已下,为初限。已上,用减历中,余为末限。

其火星,盈历在六十度八十七分六十二秒半已下,为初限。已上,用减历中,余为末限。缩历在一百二十一度七十五分二十五秒已下,为初限。已上,用减历中,馀为末限。

置各星立差,以初末限乘之,去加减平差,得,又以初末限乘之,去加减定差,再以初末限乘之,满亿为度,不满退除为分秒,即所求盈缩差。

又术:置盈缩历,以历策除之,为策数,不尽为策余。以其下损益率乘之,历策除之,所得,益加损减其下盈缩积,亦为所求盈缩差。求平合诸段定积

各置其星其段中积,以其盈缩差盈加缩减之,即其段定积日及分秒。以天正冬至日分加之,满纪法去之,不满,命甲子算外,即得日辰。求平合及诸段所在月日

各置其段定积,以天正闰日及分加之,满朔策,除之为月数,不尽,为入月已来日数及分秒。其月数,命天正十一月算外,即其段入月经朔日数及分秒。以日辰相距,为所在定朔月日。

求平合及诸段加时定星

各置其段中星,以盈缩差盈加缩减之,〔金星倍之,水星三之。〕即诸段定星。以天正冬至加时黄道日度加而命之,即其星其段加时所在宿度及分秒。

求诸段初日晨前夜半定星

各以其段初行率,乘其段加时分,百约之,乃顺减退加其日加时定星,即其段初日晨前夜半定星。加命如前,即得所求。求诸段日率度率

各以其段日辰距后段日辰为日率,以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减,余为度率。求诸段平行分各置其段度率,以其段日率除之,即其段平行度及分秒。

求诸段增减差及日差

以本段前后平行分相减,为其段泛差。倍而退位,为增减差。以加减其段平行分,为初末日行分。〕前多后少者,加为初,减为末。前少后多者,减为初,加为末。倍增减差,为总差。以日率减一,除之,为日差。

求前后伏迟退段增减差前伏者,置后段初日行分,加其日差之半,为末日行分。

后伏者,置前段末日行分,加其日差之半,为初日行分。以减伏段平行分,余为增减差。前迟者,置前段末日行分,倍其日差,减之,为初日行分。

后迟者,置后段初日行分,倍其日差,减之,为末日行分。以迟段平行分减之,余为增减差。〕前后近留之迟段。木火土三星,退行者,六因平行分,退一位,为增减差。

金星,前后退伏者,三因平行分,半而退位,为增减差。前退者,置后段初日行分,以其日差减之,为末日行分。

后退者,置前段末日行分,以其日差减之,为初日行分。乃以本段平行分减之,余为增减差。

水星,退行者,半平行分,为增减差。皆以增减差加减平行分,为初末日行分。前多后少者,加为初,减为末。前少后多者,减为初,加为末。又倍增减差,为总差。以日率减一,除之,为日差。

求每日晨前夜半星行宿次

各置其段初日行分,以日差累损益之,后少则损之,后多则益之,为每日行度及分秒。乃顺加退减,满宿次去之,即每日晨前夜半星行宿次。求五星平合见伏入盈缩历

置其星其段定积日及分秒,〔若满岁周日及分秒,去之,余在次年天正冬至后。〕如在半岁周已下,为入盈历。满半岁周,去之,为入缩历。各在初限已下,为初限。已上,反减半岁周,余为末限。即得五星平合见伏入盈缩历日及分秒。

求五星平合见伏行差

各以其星其段初日星行分,与其段初日太阳行分相减,余为行差。若金、水二星退行在退合者,以其段初日星行分,并其段初日太阳行分,为行差。内水星夕伏晨见者,直以其段初日太阳行分为行差。

求五星定合定见定伏泛积

木火土三星,以平合晨见夕伏定积日,便为定合伏见泛积日及分秒。

金水二星,置其段盈缩差度及分秒,〔水星倍之。〕各以其段行差除之,为日,不满,退除为分秒。在平合夕见晨伏者,盈减缩加。在退合夕伏晨见者,盈加缩减。各以加减定积为定合伏见泛积日及分秒。

求五星定合定积定星

木火土三星,各以平合行差除其段初日太阳盈缩积,为距合差日。不满,退除为分秒,以太阳盈缩积减之,为距合差度。各置其星定合泛积,以距合差日盈减缩加之,为其星定合定积日及分秒。以距合差度盈减缩加之,为其星定合定星度及分秒。

金水二星,顺合退合者,各以平合退合行差,除其日太阳盈缩积,为距合差日。不满,退除为分秒,顺加退减太阳盈缩积,为距合差度。顺合者,盈加缩减其星定合泛积,为其星定合定积日及分秒。退合者,以距合差日盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积,为其星退定合定积日及分秒。命之,为退定合定星度及分秒。以天正冬至日及分秒,加其星定合定积日及分秒,满旬周,去之,命甲子算外,即得定合日辰及分秒。以天正冬至加时黄道日度及分秒,加其星定合定星度及分秒,满黄道宿次,去之,即得定合所躔黄道宿度及分秒。〔径求五星合伏定日:木、火、土三星,以夜半黄道日度,减其星夜半黄道宿次,余在其日太阳行分已下,为其日伏合。金、水二星,以其星夜半黄道宿次,减夜半黄道日度,余在其日金、水二星行分已下者,为其日伏合。金、水二星伏退合者,视其日太阳夜半黄道宿次,未行到金、水二星宿次,又视次日太阳行过金、水二星宿次,金、水二星退行过太阳宿次,为其日定合伏退定日。〕

求木火土三星定见伏定积日

各置其星定见定伏泛积日及分秒,晨加夕减九十一日三十一分六秒,如在半岁周已下,自相乘,已上,反减岁周,余亦自相乘,满七十五,除之为分,满百为度,不满,退除为秒。以其星见伏度乘之,一十五除之。所得,以其段行差除之,为日,不满,退除为分秒。见加伏减泛积,为其星定见伏定积日及分秒。加命如前,即得定见定伏日辰及分秒。

求金水二星定见伏定积日

各以伏见日行差,除其段初日太阳盈缩积,为日,不满,退除为分秒。若夕见晨伏,盈加缩减。如晨见夕伏,盈减缩加。以加减其星定见定伏泛积日及分秒,为常积。如在半岁周已下,为冬至后。已上,去之,余为夏至后。各在九十一日三十一分六秒已下,自相乘,已上,反减半岁周,亦自相乘。冬至后晨,夏至后夕,一十八而一,为分。冬至后夕,夏至后晨,七十五而一,为分。又以其星见伏度乘之,一十五除之。所得,满行差,除之,为日,不满,退除为分秒,加减常积,为定积。在晨见夕伏者,冬至后加之,夏至后减之。夕见晨伏者,冬至后减之,夏至后加之。为其星定见定伏定积日及分秒。加命如前,即得定见定伏日晨及分秒。

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